VARIABLES ALEATORIAS

Discretas

Variables aleatorias discretas.

LLamamos variable aleatoria (X) a toda función (ley) que asocia a cada elemento de un espacio muestral E un número real. Son variables aleatorias:

• "Número de caras" al lanzar tres monedas. Toma los valores 0, 1, 2 y 3.

• "Suma de caras superiores" al lanzar dos dados. Toma los valores 2 al 12.

A un experimento se le pueden asociar distintas variables aleatorias. Cuando los valores que puede tomar la variable aleatoria (xi) son un conjunto finito, como en los casos anteriores, decimos que es discreta.

La función de probabilidad.

Una función de probabilidad asociada a un avariable aleatoria X es aquella que asigna a cada valor de la variable su probabilidad: P(X=xi)=pi. Está claro que la suma de todas las probabilidades debe ser 1.

A continuación podemos definir distintas funciones de probabilidad: (Si tu variable aleatoria no toma algún valor, es suficiente con que anules su probabilidad). Pinchando y arrastrando C puedes calcular probabilidades acumuladas.

• La variable X toma los valores 1, 2 y 3 con probabilidades 0.2, 0.3 y 0.5. Representa su función de probabilidad y comprueba que efectivamente lo es. Calcula P(X<3).
• Si lanzamos tres veces una moneda y consideramos la variable aleatoria "Número de caras obtenidas", obtener su función puntual de probabilidad, representarla gráficamente y obtener la probabilidad de que el número de caras obtenidas sea menor o igual que dos.
• Una variable aleatoria X toma los valores 0, 1, 2, 3, 4 y 5 con probabilidades 0.1, 0.15, 0.05, 0.2, "m" y "n". ¿Qué valores pueden tomar "m" y "n"? Si m vale 0.25, ¿cuánto debe valer "n"?

La media y la varianza.

Al valor de la variable aleatoria que esperamos obtener al realizar el experimento lo llamamos valor esperado o media y la definimos como: µ=x1p1+x2p2+...+xnpn.

Una medida de lo separados que estan los datos nos lo da la varianza y su raíz cuadrada se llama desviación típica. Cuánto mayor sea más separados están los datos.

En la siguiente escena representamos por M la media y por V a la varianza. Considera solamente funciones de probabilidad:

• Considera una variable aleatoria X que toma los valores 0, 1, 2, 3 y 4 con probabilidad 0.2 todos ellos y otra que los toma con probabilidades 0.05, 0.75, 0.1, 0.05 y 0.05. ¿Qué observas?
• Usa distintas funciones de probabilidad y anota tus conclusiones respecto al valor de la media y de la varianza.

La función de distribución.

A la función F que asigna a cada número real "x" la probabilidad de que la variable aleatoria X tome un valor menor o igual que "x" (suma de las probabilidades acumuladas hasta "x") la llamaremos Función de distribución.

F(x)=P(X<=x)

Ahora puedes construir distintas funciones de distribución (Pincha y arrastra el botón C, a la derecha para ir construyendo la función):

• Considera la variable aleatoria X que cuenta el número de caras que se obtienen al simultáneamente cuatro monedas. Halla la función de probabilidad y la función de distribución. Represéntalas y escribe su expresión.
• Describe la función de distribución y obtén las propiedades de tipo genérico que se te ocurran.
• Haz lo mismo con la variable aleatoria X=nº de ases obtenidos al extraer cuatro cartas de una baraja española.

Autor:Carlos Martínez Sánchez.