VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS (I)

Las Funciones de densidad y distribución.

Variables aleatorias continuas.

Cuando tenemos una variable aleatoria discreta asignamos a cada valor del recorrido de la variable X la probabilidad de que X tome ese valor. Sin embargo en una variable continua no podemos hacer esto.

Pensemos en escoger una persona al azar y considerar su peso. Esta variable puede, al menos en teoría, tomar un conjunto infinito de valores, por lo que la probabilidad de que tome uno concreto es cero. Así hemos de buscar alternativas para estudiar las probabilidades asociadas a este tipo de sucesos.

Consideremos distintos estudios estadísticos relativos a los ingresos anuales de las familias españolas en los que cada vez las muestras son mayores y los ingresos se agrupan en intervalos más pequeños. Calculamos sus frecuencias relativas:

• ¿Las frecuencias relativas, tienen algo que ver con la probabilidad?¿Cuánto suman todas las frecuencias relativas?
• Al hacer "pequeña" la longitud de los intervalos, ("n" muy grande) ¿cuál es la probabilidad de que una familia tenga unos ingresos de 1 millón de pesetas exactamente?
• ¿Cómo podemos calcular la probabilidad de que una familia tenga unos inresos comprendidos entre 3 y 5 millones? Razona para distintos valores de n. ¿Y si "n" es muy grande?

Aproximación de los histogramas.

Si suponemos que la muestra es muy grande y los intervalos muy pequeños, el perfil del histograma se parece mucho a la gráfica de una función (Cambia "n"):

• Cuando "n" es grande, ¿podríamos sustituir el histograma de frecuencias por la gráfica de la función?¿Te parece una buena aproximación?

• ¿Cuánto debe valer el área que queda por debajo de la gráfica de la función?¿Por qué?

• ¿Que signo debe tener una función de estas características?¿Por qué?

• Si consideramos la gráfica de la función, ¿cómo podemos calcular la probabilidad de que una familia tenga unos inresos comprendidos entre 3 y 5 millones?

La función de densidad.

Se llama función de densidad de una variable aleatoria continua X a una función f que cumple las siguientes condiciones:

• f es una función positiva y definida en toda la recta real.

• El área total bajo su gráfica debe ser 1.

• La probabilidad de que X tome un valor comprendido entre "a" y "b" viene dada por el área que queda por debajo de la gráfica de la función y que está comprendida entre las rectas x=a y x=b.

Al variar a y b vemos representas las correspondientes probabilidades:

• ¿Cómo serán entonces las probabilidades de que X tome un valor en los intervalos [a, b], [a, b), (a, b] y (a, b)?

• ¿Cuánto vale P(X=3)?

• ¿Hay alguna diferencia entre P(X<=3) y P(X<3)?

Un ejemplo.

Al disparar con una pistola a una diana (de 2 decímetros de radio), la distancia al centro de la marca del disparo viene dada por una variable aleatoria X que tiene la siguiente función de densidad:

Calcula las siguientes probabilidades:

• Probabilidad de que la bala se situe a menos de 1 dm. del centro de la diana.
• Probabilidad de que la bala se situe a una distancia comprendida entre 0.5 y 1.3 dm. del centro de la diana.
• Probabilidad de que la bala no dé en la diana.
• Probabilidad de que la bala dé justo en el centro de la diana.
• Probabilidad de que la bala pase a menos de 3 dm. del centro de la diana.

Función de distribución.

Se llama función de distribución de la variable aleatoria continua X a la función F que asigna a cada número "x" la probabilidad de que X tome un valor menor o igual que "x" (el área que queda a la izquierda de "x"). F(x)=P(X<=x). Como se tiene que:

• P(X<=a)=F(a)
• P(a<=X<=b)=F(b)-F(a)
• P(X>=a)=1-F(a)

Si consideramos la función de densidad del ejercicio anterior, podemos construir su función de distribución (aparece en azul):

Al cambiar el valor de "x" podemos obtener los distintos valores de F(x):

• ¿Podemos obtener su expresión?

• Escribe en términos de F las probabilidades pedidas en la escena anterior.

Autor:Carlos Martínez Sánchez.