VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS (III)

La distribución Normal - 2.

Cálculo de probabilidades en la normal.

Como es una variable aleatoria continua sabemos que el cálculo de la probabilidad de que X tome un valor menor o igual que "k" viene dado por el área que queda por debajo de la función de densidad y a la izquierda de la recta x=k. Pero en el caso de la distribución normal el cálculo de estas áreas es bastante complicado por lo que se suelen utilizar tablas o programas informáticos.

En todo caso, en estas tablas, los datos vienen referidos a N(0, 1), que es la normal de media 0 y de desviación típica 1. Esta distribución se denomina distribución normal tipificada. La representaremos siempre por Z.

Conviene recordar que la gráfica de la función de densidad es simétrica respecto de la media (0 en este caso) y que el área que queda por debajo de la curva vale 1.

Aprovechando estas propiedades podemos calcular todas las probabilidades que necesitemos. Además puedes usar el botón Ox para desplazar "la campana" a la derecha y a la izquierda.

• Calcula: P(Z<=1.23), P(Z<=0.03) y P(Z<=7.2).

• Calcula: P(Z>=1.23), P(Z>=0.03) y P(Z>=7.2).

• ¿Cuál es valor del área que queda a la derecha de 4? ¿Y a la izquierda de -4?

Más probabilidades con la normal.

Usando la "tabla" (escena 1) de la normal también podemos calcular otras probabilidades relativas a distintos tipos de intervalos. Recuerda las propiedades de la función de densidad y que puedes desplazar la función.

• Calcula: P(Z<= -1.23), P(Z<= -0.03) y P(Z<= -7.2).

• Calcula: P(0.27<=Z<=1.23), P(-0.45<=Z<=0.03) y P(-2.7<=Z<= -1.2).

Tipificación de una variable aleatoria normal.

La variable aleatoria normal N(0, 1) nos permite calcular las probabilidades relativas a cualquier otra distribución normal , pues la variable aleatoria es una normal N(0, 1). A este proceso, de pasar una variable aleatoria normal cualquiera a una normal típica se denomina tipificación.

• Cambia la desviación la típica hasta 1. ¿Qué observas? ¿Varia el área que queda por debajo de la función?

• Cambia la media hasta llegar a 0. ¿Qué observas? ¿Varia el área que queda por debajo de la función?

• Que conclusiones obtienes sobre el proceso de tipificación.

• Si X es una variable N(9, 4), halla el valor de P(X<=3), P(X>=7) y P(10<=X<=14) tipificando primero la variable.

Aproximación de la distribución binomial mediante la normal.

Anteriormente hemos estudiado la distribución binomial, pero cuando el número de experimentos es muy grande, la función de probabilidad de la binomial se aproxima mucho a la curva de la distribución normal. ¿Cuáles serán los parámetros de esta distribución normal? Recordemos que los parámetros de la distribución binomial son:

Recordamos que la raíz cuadrada de la varianza es la desviación típica. De Moivre demostró que si np>=5 y n(1-p)>=5 la distribución binomial B(n, p) (que representaremos por X) se puede aproximar mediante la distribución normal (que representaremos por X') donde toman los valores antes indicados.

Gracias a esta aproximación es fácil hallar probabilidades binomiales que para valores grandes de n resultan muy complicados de calcular.

• Modifica el parámetro "n" y describe lo que observas. ¿A qué se parece la función de probabilidad?
• ¿Cómo calcularías la probabilidad P(X=3)?

Como X es discreta y toma valores puntuales: 0, 1, 2, ..., k, ... al pasar a X´ continua, se le asocia un intervalo unidad centrado en el punto correspondiente. De modo que las probabilidades quedan:

• P(X=a)=P(a-0.5<X'<a+0.5)
• P(X<a)=P(X'<=a-0.5)
• P(X<=a)=P(X'<=a+0.5)

De este modo podemos calcular las siguientes probabilidades:

• En una distribución B(200; 0.3), calculemos P(X>=70).
• Calcular también P(X=70), P(X>70) y P(X<70).

A las probabilidades puntuales les asignamos las áreas de los correspondientes "rectángulos". Lo ilustramos con una N(40, 6.26):

• El 2% de los televisores fabricados por una empresa presentan defectos. Si tenemos una partida de 2000 televisores, ¿cuál es la probabilidad que haya menos de 50 defectuosos? ¿Y de que haya 50 defectuosos?
• Observa en la escena el significado de la aproximación que hacemos para calcular las probabilidades puntuales. ¿Te parece una buena aproximación? Usa el botón OX si quieres desplazar la escena.

Autor:Carlos Martínez Sánchez.