VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS

La Binomial.

Distribución binomial.

Si tenemos un experimento aleatorio que realizamos "n" veces de manera que:

• Cada vez sólo se realiza un suceso A o su contrario.

• La probabilidad (p) del suceso A es la misma en todas las realizaciones.

• El resultado en cada realización es independiente del obtenido en las otras.

decimos que la variable aleatoria X, que cuenta el número de veces que se ha verificado el suceso A en las "n" realizaciones del experimento simple, sigue una distribución binomial de parámetros n y p. Y la representamos escribiendo B(n,p). La variable aleatoria X es una variable discreta que puede tomar los valores 0, 1, 2, ..., n.

La función puntual de probabilidad de un binomial B(n,p) viene dada por:

A continuación podemos representar las funciones puntuales de probabilidad de algunas binomiales:

• Lanzamos 8 monedas y nos preguntamos por el número de caras. Describe el modelo, sus parámetros y representa la correspondiente función de probabilidad. ¿Cuál es la probabilidad de que el número de caras sea 7?
• Sabemos que el 2% de una partida de tornillos son defectuosos. Cogemos 6 tornillos al azar. ¿Qué valores puede tomar la variable nº de tornillos defectuosos? Describe le modelo que sigue. ¿Cuál es la probabilidad de que haya tres defectuosos?
• En la escena, modifica los valores de "n" y "p" y observa como cambia la función de probabilidad. Describe lo que ocurre.

Parámetros de la Binomial.

En la distribución binomial la media (valor esperado) y la varianza vienen dadas por las siguientes expresiones:

Recordamos que la raíz cuadrada de la varianza es la desviación típica. En esta escena puedes ver su significado, en relación a la función de probabilidad, y calcularlos en diferentes situaciones:

• Un jugador de tenis tiene probabilidad 3/4 de ganar un partido. Si juega 8 partidos, ¿cuántos esperará ganar?
• En la binomial B(8, 0.2) calcula la media y la desviación típica.
• En las familias con 8 hijos nos fijamos en el número de hijos varones. Elegida una familia al azar, ¿cuál es el número de hijos varones esperado? Si consideramos la correspondiente variable aleatoria, representa la función puntual de probabilidad y calcula la desviación típica.
• Variando "n" y "p" observa como cambia el tamaño del intervalo centrado en la media y de radio la desviación típica. Describe estas variaciones.

La función de distribución.

Como ya comentamos anteriormente, la función de distribución es la que me da las probabilidades acumuladas de la variable aleatoria: F(x)=P(X<=x). Si arrastras el botón C podrás obtener las probabilidades acumuladas que te interesen.

• Una fábrica produce bolígrafos y se ha comprobado que el 5% son defectuosos. Tomados 8 bolígrafos al azar y nos preguntamos por el número de defectuosos. Describe el modelo. Calcula sus parámetros. Calcula P(X<3), P(X>1) y P(X<=4).

• Una urna contiene 3 bolas rojas y 7 verdes. Se saca una bola al azar y se anota su color y se devuelve a la urna, repitiendo la experiencia 6 veces. Calcula la probabilidad de obtener: a) Tres bolas rojas. b) Menos de tres rojas. c)Más de tres rojas. d) Alguna roja. e)Más de siete rojas.

Autor:Carlos Martínez Sánchez.