I.E.S. Izpisúa Belmonte

Departamento de Matemáticas
Webquest y Proyectos

A partir de tus propias observaciones sobre la siguiente escena has de intentar llegar a comprender las características y propiedades de las mediatrices de un triángulo y así poder llegar a obtener una definición adecuada. Debes seguir las actividades una tras otra, sin olvidar que en caso necesario puedes consultar a tu profesor o profesora. ¡Animo y adelante!

1.- En la escena ve variando los vértices del triángulo con la ayuda del ratón. Observa los diferentes valores representados. En tu cuaderno de trabajo haz un dibujo de una de las escenas sin olvidar ninguno de los elementos que aparecen.

2.- A la vista de los resultados de tus observaciones responde a las preguntas siguientes, anotando tus respuestas en el cuaderno de trabajo:

a.- ¿Qué son los puntos Mab, Mac y Mbc, respecto de los segmentos AB, AC y BC?.
b.- ¿Cómo son cada una de las rectas representadas, respecto a los lados correspondientes del triángulo?.
c.-¿Qué son cada una de las rectas con relación a cada lado del triángulo?.
d.- A partir de las respuestas dadas a las preguntas anteriores intenta dar una definición, lo más sencilla posible de “mediatrices de un triángulo”.

RECUERDA: Mediatrices de un triángulo son las rectas perpendiculares a cada lado del triángulo que pasan por su punto medio

El punto P, que ha aparecido en la escena anterior recibe el nombre de CIRCUNCENTRO. Con las observaciones que hagas, a partir de la siguiente escena, has de lograr descifrar el por qué de dicho nombre.

4.- Cambia las posiciones de los vértices del triángulo y fíjate en el circuncentro, así como en la circunferencia representada y los datos que aparecen en la escena. Después responde a las preguntas siguientes:

a.- ¿Por qué puntos pasa la circunferencia?.
b.- ¿Qué sucede con la distancia de P a los vértices del triángulo?
c.- ¿ A qué conclusiones llegas?.

5.- Haz un resumen de lo que has aprendido incluyendo el dibujo de un triángulo con sus mediatrices, circuncentro y circunferencia circunscrita, definición de mediatrices y definición de circuncentro.

 RECUERDA: El  circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo

Tal como ya hiciste en el apartado anterior, aquí también debes tratar de llegar a una definición : la de bisectrices de un triángulo. Por tanto empieza por observar y manipular la escena siguiente.

1.- En la escena ve cambiando la posición de los vértices del triángulo con la ayuda del ratón. Observa los diferentes valores representados. En tu cuaderno de trabajo haz un dibujo de una de las escenas sin olvidar ninguno de los elementos que consideres necesarios.

2.- A la vista de los resultados de tus observaciones responde a las preguntas siguientes, anotando tus respuestas, como siempre, en el cuaderno de trabajo:

a.- ¿Qué son las rectas a, b y c, respecto de los ángulos A, B y C?.
b.-  Intenta dar una definición, lo más sencilla posible de “bisectrices de un triángulo”.

 RECUERDA: Bisectrices de un triángulo son las rectas que dividen cada ángulo del triángulo en dos partes iguales.

En esta escena aparece un nuevo elemento, el punto P. Vamos a intentar obtener algunas conclusiones sobre dicho punto, como ya hiciste antes.

3.- Cambia las posiciones de los vértices del triángulo y observa el punto P. A continuación responde a las preguntas siguientes, evidentemente en tu cuaderno de trabajo:

a.- ¿Qué es dicho punto con relación a las bisectrices del triángulo?.
b.- Según el tipo de triángulo que tengas (atendiendo a la clasificación según sus ángulos), ¿dónde se sitúa el punto P?.  Completa la siguiente tabla:

RECUERDA: Las bisectrices de un triángulo se cortan en un punto llamado incentro. 

El punto P, que ha aparecido en la escena anterior recibe el nombre de INCENTRO. Intenta, como antes, explicar la razón de dicho nombre.

4.- Cambia las posiciones de los vértices del triángulo y fíjate en el incentro, así como en la circunferencia representada y los datos que aparecen en la escena. Después responde a las preguntas siguientes:

a.- ¿Por qué puntos pasa la circunferencia?.
b.- ¿Qué sucede con la distancia de P a los puntos D, E y  F?.¿Qué es P respecto a la circunferencia?.
c.- ¿Cómo es la circunferencia respecto al triángulo y a sus lados?.
d.- ¿ A qué conclusiones llegas?.

5.- Haz un resumen de lo que has aprendido incluyendo el dibujo de un triángulo con sus bisectrices, incentro y circunferencia inscrita, definición de bisectrices y definición de incentro.

 RECUERDA: El incentro es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.

Como te puedes imaginar, hay que continuar observando nuevas escenas para poder llegar a definir un nuevo concepto: medianas de un triángulo.

1.- En la escena ve variando los vértices del triángulo con la ayuda del ratón. Observa los diferentes valores representados. En tu cuaderno de trabajo haz un dibujo de una de las escenas incluyendo todos los elementos representados.

2.- A la vista de los resultados de tus observaciones responde a las preguntas siguientes, anotando tus respuestas en el cuaderno de trabajo:

a.- ¿Qué son los puntos Mab, Mac y Mbc, respecto de los segmentos AB, AC y BC?.
b.- ¿Cuáles son los extremos de los segmentos representados en rojo?.
c.- A partir de las respuestas dadas a las preguntas anteriores intenta dar una definición, lo más sencilla posible de “medianas de un triángulo”. (En la escena se han representado en forma de segmento, pero suelen considerarse, como medianas, las rectas que contendrían a dichos segmentos)

3.- Fíjate en el punto P que aparece en la pizarra electrónica. Sitúa los vértices del triángulo en diferentes posiciones y después responde a las siguientes cuestiones:

     a.- Según el tipo de triángulo que tengamos, atendiendo a sus ángulos, ¿dónde se sitúa el punto P?.Completa la siguiente tabla:

      b.- ¿Qué es el punto P respecto a las medianas del triángulo (este punto recibe el nombre de BARICENTRO)?.

RECUERDA: Medianas de un triángulo son las rectas que pasan por un vértice y por el punto medio del lado opuesto.

RECUERDA: El punto de corte de las medianas se llama baricentro.

En esta escena aparecen nuevos datos, referentes a las longitudes de determinados segmentos.

4.- Cambia las posiciones de los vértices del triángulo y observa los datos que aparecen representados en la pizarra electrónica. A continuación realiza las actividades siguientes, en tu cuaderno de trabajo:

a.-  Completa una tabla como la que sigue:

b.- A la vista de los resultados obtenidos, ¿qué sucede con el punto P, respecto a los segmentos en que divide a las medianas?.

5.- Sobre una cartulina dibuja un triángulo cualquiera, que no sea equilátero. Traza sus medianas. Señala el baricentro de forma clara. Recorta el triángulo que has dibujado y pincha una aguja en su baricentro. Haz girar el triángulo como si fuera un molinillo. Repite las operaciones anteriores, con tres triángulos idénticos al primero, pero en uno trazas las alturas, en otro las bisectrices y en el tercero las mediatrices. De los cuatro triángulos, ¿cuál gira mejor?. ¿Por qué crees que es así?. (En lugar de hacerlos girar puedes colgarlos de una percha, pasando un hilo por los puntos señalados y observar cual de ellos mantiene un equilibrio más estable).

En esta escena aparecen otras líneas notables de un triángulo. Obsérvalas bien y realiza las actividades que se plantean, en tu cuaderno de trabajo.

1.- En la siguiente escena ve variando los vértices del triángulo con la ayuda del ratón. Observa los diferentes valores representados. Haz un dibujo de una de las escenas señalando todos los elementos que aparecen.

2.- A la vista de los resultados de tus observaciones responde a las preguntas siguientes, anotando tus respuestas en el cuaderno de trabajo:

a.- ¿Por qué puntos pasan las líneas rojas que aparecen?.
b.- ¿Cómo son cada una de las rectas representadas, respecto a los lados correspondientes del triángulo?.
c.- A partir de las respuestas dadas a las preguntas anteriores intenta dar una definición, lo más sencilla posible de “alturas de un triángulo”. 

RECUERDA: Las alturas de un triángulo son las rectas trazadas desde cada vértice del triángulo que son perpendiculares al lado opuesto.

En esta escena aparece un nuevo elemento, el punto P. Este punto recibe el nombre de ORTOCENTRO.

3.- Cambia las posiciones de los vértices del triángulo y observa el punto P. A continuación responde a las preguntas siguientes, evidentemente en tu cuaderno de trabajo:

a.- ¿Qué es dicho punto con relación a las alturas del triángulo?.
b.- Según el tipo de triángulo que tengas (atendiendo a la clasificación según sus ángulos), ¿dónde se sitúa el ortocentro?.Completa la siguiente tabla:

4.- En geometría también llamamos alturas a los segmentos de las rectas anteriores que tienen por extremos cada vértice del triángulo y los puntos correspondientes de intersección con los lados opuestos o sus prolongaciones. ¿Qué situación curiosa se da con algunas de estas alturas en un triángulo rectángulo?