Función Lineal y Afín con Descartes.

I.E.S. Izpisúa Belmonte

Departamento de Matemáticas
Webquest y Proyectos

FUNCIÓN LINEAL Y AFÍN

Función Lineal.

Ejemplos
Ordenada en el origen
Pendiente de una recta
Cálculo de la pendiente

Ejercicios con funciones lineales y afines.

Recta a partir de su gráfica
Recta a partir de la pendiente y un punto
Recta que pasa por dos puntos
Punto de corte de dos rectas

Con esta unidad didáctica, desarrollada en Descartes, se pretende que los alumnos reconozcan la función lineal como expresión funcional de la proporcionalidad. Supone una aproximación al concepto de función y su representación gráfica.

Las actividades van encaminadas a la asociación de puntos con sus coordenadas y de rectas con su expresión analítica, es decir, a que distingan las rectas por sus respectivas pendientes y con su posición relativa respecto de los ejes.

Asimismo se pretende que reconozcan la función afín, conociendo la pendiente y la ordenada en el origen, que encuentren la pendiente de rectas y que busquen la ecuación de una recta conocidos dos puntos por los que pasa y la pendiente y un punto.

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1.-Función Lineal.

Empecemos con ejemplos.

En el mercado un kilo de naranjas cuesta 0,80 euros. Completa la siguiente tabla sobre los precios de las naranjas según vamos variando el peso:

Peso	1	2	3	4	1,5	0,5	2,5	3,5	3,1	0
Precio	0,8	1,6

Escena 1 (El precio de las naranjas)

1.-Vamos a ir representando estos datos en la siguiente escena, si introduces el valor del peso donde pone x irás obteniendo puntos en la pantalla ¿qué describen estos puntos?. ¿Puedes intentar dar una fórmula que relacione el peso de las naranjas y su peso?

Introduce los valores correspondientes a la variable x, presiona Enter y te aparecerán los puntos.

Escena 2

2.-Un tren gasta 50 litros de combustible cada 100 kilómetros recorridos. Elabora una tabla similar a la anterior que relacione los kilómetros recorridos y el consumo. Busca una fórmula que relacione ambas variables. En la escena que tienes arriba introduce el valor de m y después puedes ir variando los puntos ¿qué describen los puntos?

3.-A los socios de un videoclub le cuesta el alquiler de cada DVD 1 euro. Busca una fórmula que relacione el número de DVDs alquilados y el coste total, introduce el valor de m en la escena y ve variando los puntos.

Como ves la representación gráfica de las funciones de proporcionalidad es un recta que pasa por el punto (0,0).

La función lineal: y=mx

Escena 3. (Representación de funciones lineales)

4.-Cambia el valor de m , representa y copia en tu libreta las funciones y=x, y=2x, y=3x, y=0,5x

Con los pulsadores del control m puedes ver las gráficas de algunas funciones lineales.

5.- Dibuja en tu cuaderno las gráficas de y=-x, y=-2x, y=-3x, y=-0,5x. (Pon una tabla con algunos valores)

6.-¿Qué diferencias encuentras cuando m es positivo y cuando m es negativo? ¿qué característica común tienen todas estas funciones?

Si mueves con el ratón el punto rojo obtendrás coordenadas de puntos por los que pasa la recta.

Escena 4. (Significado de "m")

7.-En la escena que tienes arriba debes ir variando los valores de m :1, 2, 3, 4, ..., 0.5, 0.75, .... ¿Qué ocurre cuanto mayor es el valor de m? ¿qué pasa con valores de m muy grandes o muy próximos a cero?

8.-Da ahora los valores -1, -2, -3, -4, .... -0.5, -0.75 ¿Qué ocurre cuanto mayor es el valor absoluto de m?

Cuando m es positivo la recta es creciente, y cuando m es negativo la recta es decreciente.

A m se le llama pendiente de la recta y nos mide su inclinación.

2.-Función Afín.

Empecemos con ejemplos.

Mi compañía de teléfono móvil me cobra cada llamada del siguiente modo: 12 céntimos por el establecimiento de llamada y 3 céntimos el minuto. Completa la siguiente tabla que nos irá dando el coste de cada llamada según la duración de la misma.

Duración	0	1	2	3	1,5	0,5	2,5	3,5	3,1	4
Coste	12	15


Escena 1 (La llamada telefónica). 1.- Vamos a ir representando estos datos en la siguiente escena, si introduces la duración de la llamada donde pone x irás obteniendo puntos en la pantalla ¿qué describen estos puntos?. ¿Puedes intentar dar una fórmula que relacione la duración de la llamada y su coste? ¿Encuentras alguna diferencia con lo que hemos hecho antes?	Escena 2. 2.- En una heladería venden el helado a 5 € el litro y cobran 10 € por el envase sea del tamaño que sea. Elabora una tabla similar a la anterior que relacione los litros de helado y el precio. Busca una fórmula que relacione ambas variables. En la escena que tienes arriba introduce el valor de m y de n y después puedes ir variando los puntos ¿qué describen los puntos? ¿Qué diferencias hay con las rectas que representábamos en la hoja anterior? 3.- Un taller de lavado te ofrece la siguiente modalidad de pago 12 € por hacerte socio y 6,5 € por cada lavado ¿cuánto pagaríamos si lavamos el coche 6, 12 o 15 veces al año?
La representación gráfica de una función afín en un sistema de referencia cartesiano siempre es una recta que no tiene que pasar obligatoriamente por el origen de coordenadas.

La ordenada en el origen

Escena 3.
4.- Representa en tu libreta en los mismo ejes coordenados las rectas y=2x+2, y=x+2, y=-3x+2, y=0,5x+2, y=2 ¿qué tienen en común estas rectas?

Si desplazas el punto rojo, obtendrás puntos por los que pasa la recta.

Da valores a m y a n para representar las rectas.

Todas las funciones afines y=mx+n pasan por el punto (0,n), al valor de n le llamamos ordenada en el origen

Todas las rectas que vas a dibujar tienen un punto común.¿cuál es?

La pendiente de la recta

Escena 4.

Cambia el valor de m y de n.

5.- Representa en tu libreta, en los mismo ejes coordenados, las rectas y=2x+2, y=2x, y=2x-3,y=2x+1.

6.-Repite el ejercicio con las funciones y=-x, y=-x+1,y=-x+2, y=-x-1,y=-x-2

7.-¿Qué ocurre cuando las rectas tienen el mismo valor de m?

En cada función afín y=mx+n, m se llama pendiente de la recta y nos mide la inclinación de la recta. Las rectas que tienen la misma pendiente son paralelas.

Todas las rectas y = m x+n que vas a dibujar tienen algo común ¿qué es?

Cálculo de la pendiente de una recta

Escena 5.

y=mx+n (m es la pendiente)

El punto rojo se puede mover arrastrándolo con el ratón o con las teclas de flechas.

8.- Mueve el punto rojo y comprueba que para cualquier punto que esté sobre la recta el cociente entre los segmentos señalados (verde y azul) permanece constante y es igual a la pendiente.

9.- Comprueba que con cualquier recta que elijas se cumple esa condición.

10.- Escribe en tu cuaderno un método para determinar la pendiente de una recta.

El valor de la pendiente determina la inclinación de la recta, los valores próximos a cero dan lugar a rectas muy horizontales y los valores alejados de cero a rectas muy verticales.

Podemos calcular la pendiente de una recta usando la siguiente fórmula:

3.-Ejercicios con funciones lineales y afines.

Un juego: Encuentra la ecuación de una recta a partir de su gráfica

Escena 1.

Se trata de determinar la pendiente y la ordenada en el origen de una recta cualquiera, que son los elementos que se necesitan para escribir la ecuación.

y = m x + k

Para dar valores a m y k puedes escribir números decimales o fracciones como 5/7 ó -1/2 y pulsar la tecla Intro.

El pulsador azul de la ayuda la activa y el rojo la desactiva. Con la ayuda activada no se cuentan los aciertos.

Si aciertas verás la expresión de la función con color naranja, si no aciertas verás la recta correspondiente de color rojizo.

Después de cada acierto pulsa el botón animar para que se salga una nueva recta.

1.- Tienes que escribir los valores de m y k para determinar la ecuación de la recta naranja.
2.- Repite las tiradas hasta que consigas 10 puntos.

Ecuación de la recta conocida la pendiente y un punto

Escena 2.

Como conoces la pendiente sólo tienes que determinar la ordenada en el origen de la recta.

y = m x + k

Las instrucciones del juego son como las de la escena anterior.

2.- Tienes que escribir el valor de k para determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto amarillo y tiene de pendiente el valor indicado m.

3.- Repite las tiradas hasta que consigas 10 puntos.

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

Escena 3.

Las instrucciones del juego son como las de las escenas anteriores.

Hay que determinar la pendiente y la ordenada en el origen de la recta.

y = m x + k

5.- Tienes que escribir los valores de m y de k para determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos dados.

6.- Repite las tiradas hasta que consigas 10 puntos.

Punto de corte de dos rectas

Escena 4.

Resuelve los siguientes problemas:

Introduce los coeficientes de las rectas en m1, n1 para la primera recta y m2, n2 para la segunda

7.- Un taller de lavado de coches ofrece las siguientes modalidades de pago:
a) 1,2 € por hacerse socio y 0,65 € por cada lavado.
b) Sin hacerse socio 0,8 € por cada lavado
Investiga en qué caso nos conviene cada modalidad

8.- En una heladería A venden el helado a 0,5 € el litro y cobran 1 € por un envase, sea del tamaño que sea. En otra heladería B cobran 0,5 € por un envase y 0,6€ por cada litro de helado. Analiza cuál de las dos ofertas es más ventajosa según la cantidad de helado que compremos.